京都大学 後期 1998年 第6問 (解答解説)

【解答】

(1)

半角公式により

だから，は

と変形できる．とおくとだから

と置換積分できる．

ここにを代入してを計算すると，

が求める値である． (答)

(2)

まずは題意の曲線の軌跡を求める． を曲線上の点とすると，より

と書ける． 一階微分は，半角公式より

となるから，の範囲での増減表は表1となる． ただし， は

をみたす角度とする．

また，の時のの値は(式27)より

である． 従って，の軌跡の概形は図1のようになる．

さて，以下この軌跡を周りに回転して得られる立体の体積を求める． 求める体積は，図形全体を回転させたものを軸周りに回転した体積と等しいのでそれを求める． まず，この領域がを軸として（回転後は軸を軸として）対称であることを示す．

そこで，点を負の方向に回転させた点をとおくと，

と書き直せる． ここで，とおくと，より

であり，は

となる．これはを中心として軸対称だから， 元の領域はを軸として対称である．（図2）

従って，体積はこの回転した領域で，をみたす部分（）のみを考えればよい．

と変形できる． 倍角公式を用いてを書き直すと

である．よって題意は示された．(答)

【解説】