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京都大学 後期 1997年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 1997年 第6問 (解答解説)

📝 問題

媒介変数表示された曲線

を考える．

  1. の長さを求めよ．

  2. と軸，軸で囲まれた領域の面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

まずは曲線の概形を求める． わかりやすさのため

とおくと，

である．従って，は区間内で単調に減少する． 曲線の増減表は表1となる．

表 1: 曲線の増減表

従って，グラフの概形は図1となる．

$C$の概形

図 1: の概形

(1)

媒介表示曲線の長さの公式から，

が求める長さである．(答)

(2)

求める面積は図1の斜線部であり

ただし，最後の行では積分変数をに取り替えた．

各項計算して

だから，(式14)に代入して求める面積は

である． (答)

【解説】

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