京都大学 後期 1997年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

の時はとなり，従ってとなって題意の条件を満たす． そこで，以下で題意の条件を示す．

(イ)より だから は単調増加数列で全て異なる値をとる． 従って，

である． なぜならば，もし , をみたす があるとすると， 異なる 個の数 が， の値のいずれか をとる ことになり，この中には等しい があることになりが単調増加であることに矛盾するからである．

次に，

と仮定する．

も平方数だから，自然数を用いて

と書ける．ただし仮定とが単調増加であることから

である．の定義式より

であるが，(式5)より

を得るが，これは(イ)に矛盾．従って背理法により(式2)は否定され

となる．(式1)と合わせて，

であることが示された．(答)

(2)

であることとが単調増加であることより， (1)と同様の鳩の巣原理的な論理より

である． したがって の時，

であるから となる． でもこの表現は成立する． の時は で，この時もこれで良い． 以上からすべてのに対して

が答えである．(答)

【解説】