京都大学 後期 1997年 第5問 (解答解説)

【解答】

初期状態で青のカード枚，赤のカード枚，黄のカードが枚であるとする． この時，回目に青のカードをとり出す確率をとする． について，回目にとり出すカードが回目に加えたものか否かで場合分けする． 回目が終わった時点で，カードは全部で枚存在する． 回目に引くカードが回目に加えたものであるとき，それが青である確率はである． 回目に引くカードが回目に加えたものでないとき，それら枚から青を引く確率はである． 従って，漸化式は

である． この漸化式をくり返し用いて，任意の自然数に対して

を得る．従って，ここにを代入して

を得る．

以下，題意の期待値を求める． 回目の試行が完了した時の青の個数は，最初の個と，途中で引いた青の数の和に等しい． まず，以下のように確率変数を定める．

(式4)より，の期待値は

である． 求める期待値は

である．期待値の加法定理から

が求める答えである．(答)

【解説】