京都大学 後期 1997年 第4問 (解答解説)

【解答】

(1)

が与えられた連立方程式の解だから

が満たされる．

背理法により題意を示す． と仮定すると，(式1)よりとなる． 従ってこの時，などの不等式が成り立つ． (式1)の全ての式を足し上げると

を得るが，これはに反して矛盾．よって背理法によりであり， この時(式1)からが従う． よって題意は示された． (答)

(2)

(1)から

とおける．(式1)および半角公式から

なる関係を得る．従って，最後の式を解く．和積公式から

であるから

である． よりは

と書ける．の時はで等しくなるが，そのほかのではは相異なる値をとる． 従って，求める解の個数は, の合計個である．(答)

【解説】

面白い問題で，色々と解法が考えられるところだ． まず(1)からいくつか別解を紹介しよう．いずれもの対称性を用いることになる． まず，を仮定すると(式1)からが従うことに気を付ける． これと背理法を組み合わせるのが全ての別解に共通するロジックである．

【（1）別解-1】

を評価すると

だが，同様の評価を繰り返すと となり矛盾．

【（1）別解-2】

を評価すると

となり， で両辺を割れば

となり矛盾する．

(2)の方も別解が考えられるので紹介しよう． 対称性を使わないのであまり綺麗な方法ではないのだが， 与えられた方程式は変数なので，変数消してしまおうという方針である． (式1)からbを消去すると

この右辺をとするとはの4次関数で，平面上で , , を通り，

と合わせてグラフは図1のようになる．

与えられた連立方程式の解の個数は，まさにグラフ上の二本の曲線の交点の数に他ならないから， 求める解の個数は個である． (答)