京都大学 後期 1998年 第5問 (解答解説)

【解答】

まず，明らかに

である．を図示すると図1のようになる．

(1)

の時

, 又は と行けば良い． 排反事象を考えると，これはにもにも×がついている時以外である． 従って，求める確率は

である．(答)

の時

から右方向へ出発し，どこではじめて上方へ移動しなければならないか ( が となっている最小の) で場合分けする．

1. が の時， へ行くルートで確率は

2. が の時， が矢印になっていれば良く，確率は

3. とも通過できる時，必ずルートがあって確率は

以上三つの場合は互いに排反だから，求める確率は

である．(答)

(2)

(1)の の時と同様の場合分けをする． つまり， から右へ進んでいって，はじめて行き止まり () になっている所が の時を考える()． (以下 とする．

この時．$B_n$ まで行ける確率は $C_n(k)$ とおく．
この確率は$A_1 \to \dots \to A_k$まで行き，そのあと$B_k \to \dots \to B_n$
が行き止まりになっておらず矢印になっており，$A_k A_{k+1}$ が $X$ になっている時で，

である．

また，Aの横道に一つも行き止まりがない時を便宜上$k=n$とおくと

である．

従って，各$a_{n}(k)$は排反事象であることより，求める確率は

である．(1)より，これは$n=2,3$ でも成立するから，求める確率は

である．$\cdots$(答)

【解説】