京都大学 後期 1999年 第5問 (解答解説)

【解答】

の解をとおく． 題意より，

とおける．解と係数の関係から，

である．

(式2)より

となる．(式3)に代入して

となる． ここでが有理数だから，この式が成立するには

のどちらかが成立しないといけない．

の時

まず，の場合を考える． この場合

だから，は(式1),(式4)より

となり，(式3)は

となる． 題意の条件より右辺は整数だから左辺も整数であり， 有理数を互いに素な整数を用いて

と書くと，

が必要であり，12がで割り切れることが条件である． 従ってである．

1. 　の時

   (式12)に代入して

   である．ところが，両辺法とする合同式をとると，とすればであるから，

   となり，両辺が等しいためにはとならねばならない． とは互いに素だから，この時がで割り切れる，すなわちがで割り切れる． しかし，仮定よりとは互いに素だからこれは矛盾．

2. 　の時

   この時，は整数である． (式12)に代入して

   となる．だからがで割り切れる，すなわちがで割り切れる． 従って，(式9)からも整数となる． 以上から，となる．

以上から，の場合はであることが示された．

の時

この時，だから，

が成立する．有理数を互いに素な整数を用いて

と書くと，

である．右辺が整数だから左辺も整数でないといけないが， これはの時が互いに素である仮定に反して矛盾するから， である．従っても整数となる． 以上から，の場合もであることが示された．

以上二つの場合わけでいずれの場合もであることが示された． 従って題意は示された．(答)

【解説】