京都大学 後期 2000年 第5問 (解答解説)

【解答】

極座標表示で，実数に対して

とおく．すると， および

が成立する． また，加法定理によって

が成立する． 従ってこれらの関係を繰り返し用いると，任意の整数に対して

が成立する．以下この関係を用いる．

(1)

与えられたの表現に(式1)を代入して(式8)を用いると

を得る．従って，

である． でのの成立が必要だが，の時，となる から ．つまり である．(答)

(2)

を(式11)に代入すると，

となる． 従って題意を示すには

となるがあることを示せば良い． の値で場合分けすると，以下のようになる．

1. の時，よりとすれば良い．

2. の時， よりとすれば良い．

3. の時，よりとすれば良い．

以上で全ての場合が尽くされ，題意は示された．(答)

【解説】

(1)だけ解くのであれば，の大きさで場合分けするのが良いだろう． すなわち，以外の時はが発散することを示せば良い． 証明には三角不等式を利用する．複素数に対して

が成立するというものだ．これは三角形の各辺の長さから図形的に示せるもので， 複素数だけでなくベクトルでも成立する． 高校数学では不等式の中から不要なものを排除したいときによく出てくる不等式である．

今回の場合，愚直にとしてしまうと不等号の向きが使いたい方向と逆になってしまう． すなわち

で，の発散を示したいのに上から押さえてしまう． こういう時はよく使われるテクニックがあり，式を

の形で利用する．ここで, とすれば

となって綺麗に使える．

まず，の時は，三角不等式より

であり，

より追い出しの原理より

となり発散する．

同様にの時は三角不等式でとして

だから，同様には発散する．

最後にの時はとかけるから，本解答と同様に変形すればを満たすことがわかるだろう．