京都大学 後期 2000年 第4問 (解答解説)

【解答】

(1)

を原点とする座標空間で考える． 四角形A’B’C’D’をの平面上に配置して， A’，B’，C’，D’とする． 四角形ABCDを平面に配置して， A，B，C，Dとする．

題意の直線AC’に垂直で，AC’上の点Pを通る切断面をとおく． の法線ベクトルはACと平行で

を満たす．

線分の長さをと置くと， Pの座標はである．

以上から，の方程式は

である．

さて，題意のように点PがAC’の中点である時，APの長さは

だから，を(式5)に代入すると

となり，この方程式は B’, Dを通る． 以上から題意は示された．(答)

(2)

(1)と同様に各頂点が(P)を通る時以下の方になる．

従って，切り口の形状は

の四つの場合わけで記述できる． 対称性から，前者二つを考えれば後者二つはの置換で求まる．

\textbf{ の時}

(P)は辺C’B’，C’D’，CC’，と交わるから，各々の交点をX, Y, Zとする． すると切断面の面積はの面積に等しい．

である． (式5)から，

だから，三角形の面積公式から

である．

\textbf{ の時}

切り口は図3のような五角形になる． これは，四角形から三角形を切り抜いた形として計算できる．

四角形の面積は，図4よりによらずの2倍である． 一方切り取る三角形の面積は，座標に注目するとの三角形との比率だから

となる．またよりである． 以上より

である．

\textbf{ の時}

対称性からのをでおきかえて

である．これはの時と同じ表現である．

\textbf{ の時}

対称性から1のをで置きかえて

である．

以上まとめてをでおきかえて

が求める答えである．(答)

受験上の検算テクニックとして，この手の場合わけが生じた場合は境界での値が一致していることを確認したい．