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京都大学 後期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 2000年 第6問 (解答解説)

📝 問題

関数をで定める．

  1. のにおける法線の方程式を求めよ．

  2. （1）で求めた法線と軸及びのグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

の一階微分は

である． また，の積分は

とおくと，として

と表せる．

より および である． 従って，法線は傾きでを通る直線だから

となる．

(2)

よりは単調増加であり, グラフの概形は図1のようになる．

曲線$y=f(x)$と法線$l$の様子

図 1: 曲線と法線の様子

題意の面積 のうち, のものを , のものを とおくと，

を満たす．以下およびを個別に求める．

まず，は底辺，高さの三角形だから

である．

次には，が軸方向の積分の方が容易なことから，四角形OABCの面積から図形OBCの面積を引けば良い．

四角形

(式8),(式12)を(式7)に代入して

が求める答えである． (答)

【解説】

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