京都大学 後期 2001年 第6問 (解答解説)

【解答】

点Pは上にあるのでとおく． ただし とする． 点Pでのの接線の方程式は

である．この方向ベクトルは

だから，直線RQがこれと直交することにより

である．

また，線分RQの長さは直線と点Rの距離に等しく

である．ここでおよび，題意よりだからとなり， だから

である．

(式5),(式8)から，

であるから，点の座標は

となる．

一階微分は

となる．に注意して，の増減表は表1となる． ただし，は軸に関して対称だから，についてのみ示している． また，は

を満たす．

	0
					0
			0
(X,Y)

従って，の軌跡の概形は図2である．

したがって，たしかにの座標は より小さい値を取りうる． よって題意の前半は示された．(答)

次に，の囲む面積を求める． のうちの部分を として，が軸に関して対称だから

である． の部分でグラフの上側 , 下側 とすると

である． ここに(式16)を代入して

である．これら各項を計算すると

だから，(式29)に代入して

だから，(式24)に代入して

が求める面積である．(答)

【解説】