京都大学 後期 2001年 第4問 (解答解説)

【解答】

(1)

与えられた不等式

だから各辺倍して

だから，

となり， は をみたす．(答)

(2)

を自然数としてが桁だとすると，の最高位がの時，

を満たす．この各辺は正だから常用対数を取って，簡潔さのため以下とかくことにすると

である． であることと，与えられた不等式より

であるから，

を満たすようなを見つければ良い． 以下，に注意して計算を進める． 与えられた不等式から

だから，各辺倍して

となり，は(式8)を満たす． 従っては解の一つ．(答)

【解説】

(2)は様々な解があり，それを導くのにも色々やり方があるところである． いずれにしても色々試行錯誤して多少発見的にやる必要がある問題と言えるだろう． (1)の誘導の使い所が難しいところだが，以下のようにを二桁の数字としたときに別々に評価するくらいだろうか． まずの位として例えばをとると，不等式は

となる．(1)の結果を利用してをとると

となるから，辺々足して

となる．よって，も題意を満たす解である．