京都大学 後期 2001年 第1問 (解答解説)

【解答】

与えられた関数を

とおき，の正の整数解を求める．

まず，はについて対称だから，そこから考える． , とおく．,が正の整数である時，もまた正の整数である． 従って，が正の整数であることが必要条件である．

は の二次方程式

の 正実解（重解含む）だから，の判別式として

を満たす必要がある．すなわち

が必要条件である．

を利用してを書き直すと

であり，これがまたについて正の実数解を持つから，同様に判別式が以上で

であることが必要．

(式4),(式8)を平面に図示すると図1の斜線部となる．

この斜線部の中に含まれる格子点は だけだから， であることが必要であり，この時

となる．この時，(式8)に代入すると

となり，これは正の整数だから十分である．以上から，求める正整数解は

である．(答)

【解説】