京都大学 後期 2000年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

複素数平面上で複素数を点と表す．

とおくと，は線分から線分への角度である． 題意より，この虚数部分が正だから，

だから，の存在する部分は下図斜線部 (境界含まず)である． 点から点を見て，向かって左側の領域である．

(2)

本題に入る前に(1)と似た状況として，

の虚部が，すなわち実数の場合を考える． この時，ある実数を用いて

と書けるから，は同一直線上にある．

さて，以下題意を示す． 与式から

であるから，両辺の虚部をとると

を得る． まずこの第一式に注目すると， , の虚部は共に か, 互いに異符号である． 虚部が共にの場合はが同一直線上にあって題意に反するから，互いに異符号であることが必要． に関しての対称性から

とおいて良い． ここで，実数でない複素数に対しての虚部は符号が逆であることに注意すると，

だから(式6)より

である．以上(式7),(式9)から

となる．

従って（1）から，の存在する範囲は直線，，によって規定される． これは点がベクトルBAの向かって左手にあるか右手にあるかで異なる． 向かって左手にある場合はは三角形ABC内に存在し，向かって右手にある場合はそのようなは存在しない． (式7)で逆の符号を採用した場合は逆の結果になる．

以上から，確かに複素数が存在して題意の方程式を満たす時，は三角形の内部にある． よって示された．(答)

【解説】