京都大学後期 2001年第3問 (解答解説)

【解答】

（1）複素数の表す点をと大文字で書いて区別する．座標原点をとする．

また，表記の簡潔さのため

とおく．は

が成り立つことに注意する．題意のは

である．題意の正五角形の頂点の座標はである．これらの点をとおく．すると，題意の点は直線との交点であり，概形は図1のようになる．

ここで，三角形はと相似で，後者がの二等辺三角形だから前者も二等辺三角形であり，

であり，よってはをを中心として回転したもので

である． (答)

題意の円は，要するに三角形の外接円である．三角形がの二等辺三角形であることからの中心は線分の 2 等分線上にある．

次に，三角形が二等辺三角形であることと，がの中心ゆえであることから，線分はと直交する二等分線である．これらの交点をとおく．

題意の条件，点も上にあることを示すには

を示せば良い．すなわち，三角形がの二等辺三角形であることを示せば良い．

まず，について，線分も線分の二等分線だから直線と直線は等しく

である．

次にについて，

である．

以上からであり，従って

となり，も確かに円上にあるから題意は示された．(答)

(1)は導出によって，いくつか見た目の異なる表現が得られる．その一つが

である．これはをのまわりにだけ回転し，からの距離を倍したものがである．として立式したときにこの形になる．解答の表現と同一の値を与えることは以下のように確認できる．

より，この両辺をで割れば良い．ただし，二行目でを利用した．

(2)はより複素数チックに解く方法として，円周角の定理を用いてを示す方針でも良い．以下これを示そう．そこで

とおく．

まずは

である．ここでがこの順で同一直線上にあることから

であるから，

ここで(式2)よりだから，

である．

次には

となり，よってであり題意は示された．