【解答】
図 1: 四面体ABCDの様子
平面が平面ABCに一致する時，C’はCと一致するが，
各角が鋭角三角形だから，D’は平面ABC上でAを通り
辺ABに垂直な直線と，Bを通り辺ABに垂直な直線の
間の領域にある．
同様のことを辺BC，CAに対しても考えると，
D’は下図のように3組の平行直線 , ,
で囲まれた領域内にある．
と， と， と の交点を各々P, Q, Rとすると，
は六角形APBQCRの内部に存在する．
図 2: 六角形APBQCRの様子
の直線の定義から
だから，六角形APBQCRは同一円周上にある．
この円は三角形ABCの外接円である．
従って，点D’は三角形ABCの外接円の内側にある．
よって円周角の定理から
である．
次に平面が平面ABDに一致するまで回転させることを考える．
この時とは連続的に変化する．
条件から辺ABと辺CDが垂直でないので，C’とD’は一致しないことに注意する．
最終的に平面が平面ABDに一致するとき，(式4)と同じく
である．
従って，(式4),(式5)から，
平面を動かす間にとの大小関係が逆転する．
これらの角度は連続的に変化するので，となるようなが絶対に存在する．
この時円周角の定理より，異なる4点A, B, C’, D’が同一円周上に存在する．
よって題意は示された．(答)
【解説】
