京都大学 後期 2002年 第5問 (解答解説)

【解答】

(1)

漸化式を用いて計算すると

である．の時の値は初期条件より

従って，(式4),(式5)より，

である． (答)

(2)

漸化式と初期項から，帰納的には正である． 従って(1)の式の両辺をで割ると，

である． 以下，のでの極限値を求めることで，の極限値を求める．

漸化式および(1)から，に関する漸化式は

となる．

ここで，数学的帰納法によりであることを示す． まずの時で条件は成立し，ついででの成立を仮定してでの成立を考えると， 漸化式から

となりでも成立，従って常に

が成り立つ．(式10)から，

だから，この不等式を繰り返し用いてを使うと

を得る．で右辺は発散するから，追い出しの原理から，

を得る．(式9)に代入して題意の極限は

となる． (答)

【解説】