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京都大学 後期 2002年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 2002年 第4問 (解答解説)

📝 問題

はの係数がであるの次式である．相異なる個の有理数に対してが全て有理数であれば，の係数は全て有理数であることを，数学的帰納法を用いて示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

の係数がである次式を と表す．

の時

とおけるから， ならば であるから， 条件は成立．

の時の成立を仮定する ()

異なる有理数 に対し

と仮定する．ここで である． すると，より，因数定理から

とおける．ここで最高次の係数比較より，右辺のもまた最高次の係数である． を代入して

を得る．題意よりだから 両辺で割れて，

となる．右辺は有理数だから，左辺も有理数である． 従ってでの仮定から，左辺の次式の係数は全て有理数である． 従って，(式2)からの係数も全て有理数である． 従ってでも題意は成立．

以上二つから，数学的帰納法により題意は示された． (答)

【解説】

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