京都大学 後期 2003年 第3問 (解答解説)

【解答】

解と係数の関係から

である.(式1)より，どのもではない． (式3)において だから, のうち,1つ又は3つが実数の場合を調べれば良い. （二つのみ実数の時は，が虚数となり不適）

1. 　の時 題意の条件より

   だが, 一つ目と二つ目の式から

   を得るが，これは三つ目の式に反して矛盾． よっての時は条件を満たさず不適．

2. 　のうち，一つが実数，二つが虚数の時 について対称だから， , の時を考えれば十分． (式1),(式3)より，

   である．二つ目の式よりとの虚部は符号が逆である． このもとで一つ目の式より，との実部は等しくないといけない． すなわち

   となる． の対称性から の虚部がより大きくなるようにおく. 以上の条件を満たす時， 複素数平面上で, は下図のようになる.

   従って，題意の条件は

   とおける.

   を求めるため，(式1)に代入して整理すると

   を得る．従って，

   となり，(式2),(式3)に代入すると

   を得る．

以上により全ての場合が尽くされた．従って求めるは

である．(答)

【解説】