京都大学 後期 2003年 第2問 (解答解説)

【解答】

三角形ABCにおいて

とおく． C から直線 BD に下ろした垂線 H とおく．

四面体 の体積が最大の時 の を底面とみた時の高さは である．

従って，四面体ABCDは底面が三角形ABD，高さCHの錐体で， その体積は，

である．

以下CH,AD,ABの長さを計算する． まず，題意より三角形ABCは一辺の長さだから

である．

次にBDは，三角形ABDに正弦定理を用いて

である．

最後にCH については，三角形BCHを考えて

である．

以上から，四面体 の体積 は

である． 積和公式を用いてさらに変形して

さらに倍角公式からだから，全体をだけでかけて

となる． ここで，(式1)から，区間内でであり， この区間でももに関する単調増加関数だから， は の単調増加関数で， すなわち の時に最大値を取る． この時 が の中点の時となる． 求める最大値は

である．(答)

【解説】