京都大学 後期 1999年 第6問 (解答解説)
📝 問題
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は で連続な関数とする．このとき となる
が存在することを示せ． -
の の部分と 及び 軸が囲む図形を， 軸の周りに回転して得られる立体を考える． この立体を 軸に垂直な 個の平面によって各部分の体積が等しくなるように 個に分割するとき， に最も近い平面の 座標を とする． このとき を求めよ．
✏️ 解答解説
【解答】
(1)
であるが，これは平均値の定理そのものである．よって示された．
(2)
とおき，
図 1: 回転させる図形の様子
題意の立体の体積
と書ける．
となるから，(式4)に代入して
である．
次に体積
が成立する． ここで(1)から
をみたす
である．
ここで，
を得る．従って求める極限値は
である．
【解説】
(1)は，平均値の定理自体は認めてしまって良いと思われる． ただ，せっかくの良い機会なので，平均値の定理の証明をここで復習しよう．