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京都大学 後期 1999年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 1999年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を正の定数として，数列，を次の式で定める．

  1. ，，，，，を求めよ．

  2. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

初期条件を用いて， 与えられた漸化式にを順に代入すると

となる．(答)

（2） とおく． 与えられた漸化式の辺々を足し引きして

なる漸化式を得る． また，初期条件は(1)より

である．漸化式を繰り返し用いて

だから，より漸化式から， および，より漸化式からとなる． つまりとおいて

となる．

そこで次におよびについて考えると， (式20)で, (式23)でとおいて (式24)を用いて

となる．

新しく

とおくと，これをで書き換えて

となる．(式24)を代入して

となる．初期条件は(1)より

である． の漸化式は(式26),(式28)より

となり，繰り返し用いてから

となる．従って求める値は

である．(答)

【解説】

との一般項を与えておこう．

まずについては漸化式を繰り返し用いて，初期条件と合わせて，一般項は

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