京都大学 後期 1998年 第2問 (解答解説)

【解答】

まず，以下の補題を示す．

【補題1】

は次関数かつ偶関数である．

証明は帰納法で示す． の時は初期条件により成立． そこででの成立を仮定すると

とおける． 題意の漸化式から

となる． だから，たしかにでもは二次式である． 以上から数学的帰納法により補題1は示された．

以下具体的にを求める．補題1より(式1)の表示および(式3)の漸化式が全てのについて成り立つ， すなわち

である．も同様に表示して係数比較すると

とおける． 初期条件は問題文で与えられたから

である． まずは等比数列の公式から

と求まる． これを(式7)に代入して とおくと，

と書ける．初期条件は(式8)より

である． よって等比数列の公式より

だから，は

と求まる．

以上(式9),(式15)を(式4)に代入して， 求めるは

である．(答)

【解説】