京都大学 後期 1995年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

を でわった商を とおく．すなわち

である．との漸化式を得るため，両辺にをかけると

これがに等しいから 係数比較して

を得る．二つ目の式を一つ目の式に代入してを消去すると

である．初期条件は

である． 題意の条件(イ)から， (式6)の特性方程式の解は だから，漸化式を書き直して

より，これを初期条件(式7),(式8)のもとで解いて，

解と係数の関係よりだから，

となり，両辺引き算して

を得る．ただし，(イ)の条件よりであることを用いた．

題意の条件(ロ) に代入して

が任意の自然数 で成立する． (イ) から だから，両辺 をかけてから で割って整理すると

となる． よって題意は示された．(答)

(2)

(イ)，（ロ）と同値になる条件を考える．まず，(イ)は 二次方程式

がに異なる二つの実数解を持つことと同値である．

このもとで，（ロ）の条件は（1）で求めた(式18)と同値だから， (式18)および，がに異なる二つの実数解を持つ条件を求めれば良い．

そこで，まず(式18)から考える． これがが任意の自然数で成立するのはのもとで表1の時である．

			の時のみ

したがって，(式18)が任意の自然数で成立する の条件は，

の時である．

したがって，もとめる の必要十分条件は 「 の二次方程式 が二つの正の実解をもち，かつ 大きい方の解が 以上であること」 である．判別式を とすると，以下の二つの場合わけで全ての場合を尽くせる．

1 2解とも 以上の時

この時は，判別式がより大きくて軸が以上，かつならば良い． 従って求める条件は

である．

2 1つが ，もう1つが の時

この時は，判別式がより大きく，およびであれば良い． 従って求める条件は

である．

以上二つの場合をまとめて，求める条件は

であり，この領域は 図1の斜線部である． (境界は のみ含み，白丸は含まず．)(答)

【解説】