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京都大学 後期 1995年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 後期 1995年 第2問 (解答解説)

📝 問題

を中心とする円周上に相異なる点，，が時計回りの順に置かれている．自然数に対し，点，，を次の規則で定めていく．

  1. (イ)　は弧を二等分する点である．（ここで弧は他の点を含まない方を考える．以下においても同様である．）

  2. (ロ)　は弧を二等分する点である．

  3. (ハ)　は弧を二等分する点である．

の大きさをとする．ただし，は点を含まない方の弧の中心角を表す．

  1. 全ての自然数に対してであることを示せ．

  2. 全ての自然数に対してであることを示せ．

  3. をであらわせ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意のと同様の置き方をして，

とする．この様子を図1に示す．

点$A_n,B_n,C_n$の様子

図 1: 点の様子

すると置き方からして

を満たす．

また，題意より漸化式は以下のようになる．

(1)

(式4),(式3)より

式式

であり，題意は示された．(答)

(2)

(式4),(式3)を繰り返し用いて

であり，題意は示された．(答)

(3)

(2)の漸化式でラベルを張り替えて

と書ける． 等比数列の公式から

と書ける．(答)

【解説】

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