京都大学 後期 1994年 第5問 (解答解説)

【解答】

座標平面で原点Oを中心とする半径の円を置く． Pとして考えて良い． 線分OPから線分OQに向かう角度をとおく． 弧PQの長さがだから，

を満たす．ここで題意よりだから，

が成り立っていることに注意する．

の値によって場合分けしてを考える．

**1 の時 (①から) **

は図2の斜線部の面積に等しく，

となる．

2 の時

は図3の斜線部の面積に等しく，

となる．

以上から，全ての場合で

と書ける． (式1)を代入して変数をに取り替えると

である．この(式2)での最大値を求めれば良い． 一階微分は

ここで，を代入するとであり，それ以外の時は

となり，これはで正，で負だから， の増減表は表1のようになる．

よってはで最大値をとり，その最大値は

である．(答)

【解説】

解答中では半角，倍角公式をうまく使っての正負を判定したが， 普通にもう一度微分することでも増減表を求められる． 計算量はこちらの方が多くなるが，一般的な方法でテクニックが不要なので採用しやすいだろう． の式において，正負は分子

の正負と等しい．そこでの一階，二階微分からの正負を求める．

より，まずの増減表は表2となる．

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増減表より，でをみたすが唯一つある． 従っての増減表は表3となる．ただし，に注意する．

従って，はで正，で負であり，解答中の増減表に一致する．