東京大学 前期 1963年 第5問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 一辺の長さの正方形の内部の動点で直交する折れ線がある(図参照)．は辺とで交わり， はに保たれている．正方形の面積を二等分しつつ折れ線が動く時，線分の通過する 部分の面積を求めよ．

\scalebox{.7}{\input{ut-63-5p1}}

\end{oframed}

【解】

まず，一辺の長さとして考える．

このとき，，，となるような座標を定める．すると，であるから，と置ける． ()すると，である．

\scalebox{1}{\input{ut-63-5p2}}

の時，明らかに折れ線は正方形の面積を二等分しないから

である．この時，折れ線との交点はである．と軸の交点とすれば，題意の面積についての条件から，

はを通るので，複合正をとって

である．よってグラフの概形は下図．

\scalebox{1}{\input{ut-63-5p3}}

求める面積は

である．一辺とすると，これの倍ゆえ

である．(答)