東京大学 前期 1962年 第5問 (解答解説)
📝 問題
1つの頂点から出る3辺の長さが
-
のとりうる値の範囲を求めよ． -
このような直方体の体積の最大値を求めよ．
✏️ 解答解説
【解答】
まず題意から
となる．
-
となる．
の正
実解であるから，判別式 として となる．
-
， ， とおく．すると ， ， は の 次方程式 の正実解である．故にこれが正の
実解(重解含む)をもつ条件を求める． (式10)が正の
実解を持つ． $\Longleftrightarrow
$$y=f(p)=p^3-6p^2+9p
y=c 0<p 3$つの共有点(重解含む)を持 つ． である．
であるから下表を得る．
従って，
のグラフは下のようになり，故に の値域は である． \scalebox{1}{\input{ut-62-5p}}
さて，直方体の体積は
に等しいから (答)である．
【別解】
[解]と同様に，$x$，$y$，$z$は$p$の$3$次方程式$p^3-6p^2+9p-c=0$の正の$3$実解であるから，$y=f(p)$と$y=c$の共有点の
$p$座標である．ゆえにグラフから，$x$の値域は$0<x\le4$である．$\cdots$(答)