東京大学前期 1962年第2問 (解答解説)

【解答】

題意の三角形は下図のようになる．

与えられた条件

を一つづつ考えていこう．

まず(式1)より，だから，と合わせて

となる．

これを(式2)に代入すると

となる．

さて，ここで三つ目の条件(式3)より，とは

と二つの内角が一致するから相似であり，

が従う．ただし二つ目の等号に(式7)を用いた．これを(式4)に代入して

となる．(式5),(式7),(式9),(式11)を反映すると三角形は下図のようになる．

さて，以下三角形の三辺を二通りで表すことでの間の関係式を導く．図のようにからに下ろした垂足をとおく．だから，

および

である．また，三角形，がいずれも直角二等辺三角形だから

である．

さて，，だから(式12),(式13)を代入して

である．同様にに(式12),(式13)を代入すると

である．一方(式15)を辺々足して

だから(式17)を代入して

が求める関係式である．

ほぼ同じことだが，座標を設定してもとける．を原点とてを軸，を軸とする座標を設定すると

と書ける．この交点が点であり，その座標は

である．これが直線上にあれば良い．この方程式はだから，

が求める条件である．