東京大学 前期 1963年 第2問 (解答解説)

【解答】

が 軸に一致し， となるように 平面をおくと下図のようになる．

与えられた条件

について考える．

まず，点 について，(式1)より は中心を , 半径を とする円

上をうごく．同様に点について考えると，の長さはとの間だから

となる．従って点 は，を中心とする半径からの円の間のドーナツ型の領域：

上をうごく．

最後に点が軸上にあり，かつ(式3)を満たすから，このようなが存在するための条件は と軸の距離が(式3)以下であることで，(式8)と合わせて

である．これを図示すると下図斜線部（境界含む）である．

この面積 を求める．は下図のようにおいた半径の円の一部から半径の弓形を引いたもの：

である．

それぞれの面積を個別に求めると，まずは円の関数を積分して

である．

次には成す角の扇形から対応する三角形の面積を減じたもので

である．

(式15),(式18)を(式10)に代入して求める面積は

である．