東京大学 前期 1963年 第4問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 一辺の長さの正四面体の辺，，の上にから等距離にそれぞれ点 ，，をとり，，，から面に下ろした垂線の足をそれぞれ ，，とする．

1. 三角柱-の体積が最大になる時のの長さを求めよ．

2. この三角柱の体積の最大値と正四面体の体積の比 を求めよ．

\end{oframed}

【解】

1. から平面に下ろした垂足とする．が正四面体だから である． とおく．すると相似から

   である．は正三角形でその面積

だから，三角錐の
体積$V(x)$は

$$
\begin{align}
V(x)&=(\triangle PQR)|PP'| \\&=\dfrac{\sqrt{6}}{3}(a-x)S \\&=\dfrac{\sqrt{2}}{4}x^2(a-x)
\end{align}
$$

となる．$x,a-x>0$からAM-GMより

<span id="eq:1"></span>

$$
\begin{align}
V(x)&=\sqrt{2}\left(\dfrac{x}{2}\right)^2(a-x) \nonumber\\&\le\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{3}\right)^3
\end{align}
$$

である．等号成立は$\dfrac{x}{2}=a-x\Longleftrightarrow x=\dfrac{2}{3}a$である．(これは$0<x<a$を満たす．)
以上から求める値は$|AP|=\dfrac{2}{3}a$である．$\cdots$(答)

2. (式7)からであり，また

  だから，

$$
\begin{align}
\dfrac{V_0}{V}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{27}a^3}{\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3}=\dfrac{4}{9}
\end{align}
$$

である．$\cdots$(答)