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東京大学 前期 1963年 解答解説 このページの閲覧数
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東京大学 前期 1963年 第3問 (解答解説)

📝 問題

，， なる台形がある． 対角線 ， の交点を とし， 上に点 を となるようにとる． 次に，， の交点を とし， 上に点 を となるようにとる． 次に，， の交点を とし， 上に点 を となるようにとる． 以下同様にくりかえして， 回目にできる線分 の長さを とするとき

図 1

図 1

  1. を ，， で表わせ．

  2. の面積を とするとき を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

台形 $ABCD$ の対角線の交点 $P_1,Q_1$ の作り方

図 1: 台形 の対角線の交点 の作り方

台形 $A D Q_n P_n$ における対角線の交点 $P_{n+1}$ と線分 $x_{n+1}$

図 2: 台形 における対角線の交点 と線分

(1)

わかりやすさのため と置く． ， に注目し，, の長さの相似をふた通りで表すと

だからこれらが等しいことにより

である．

だから， として(式3)の両辺逆数をとると

である．初項は だから漸化式(式4)をくり返し用いて，

である．よっては

である．

(2)

台形の高さとする． 辺 を底辺とみたときの （あるいは）の高さ はとの相似に着目して

である．

従って三角形の面積:

に(式6),(式8)を代入して

となり，和および極限は

である．

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