東京大学 前期 1964年 第2問 (解答解説)

\input{macros} \begin{oframed} 平面上につの曲線

がある．このとき点をとり，曲線(式1)の上の任意の点に対して，線分を一定 の比に内分する点が必ず曲線(式2)の上にあるようにしたい． 点の座標と比の値とを求めよ． \end{oframed}

【解】

に対してと置ける． 題意の条件からに対して とおいてよい．このとき内分点に関する条件から

となる，，の条件を求めればよい． 3を4に代入してを消去する．として簡単のため

とおけば，

が恒等式であればよい． したがって

  第$1$式および$a=m+n$から，$n:m:a=1:2:3$である．これを第$2$式に代入して$\alpha=-6$を得る．
  さらに第$3$式にこれらを代入して
  

  である．以上から$P(-6,3)$，$m:n=2:1$である．$\cdots$(答)