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京都大学 前期 2013年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2013年 第5問 (解答解説)

📝 問題

平面内で，軸上の点を中心とする円が2つの曲線

とそれぞれ点，点で接しているとする． さらにはとが軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする． このとき3つの曲線，，で囲まれた部分の面積を求めよ．

ただし，2つの曲線がある点で接するとは， その点を共有し， さらにその点において共通の接線をもつことである．

✏️ 解答解説
【自動文字起こし・要確認】

【解答】

，である．

円の半径をとすると，が正三角形であるから，，の座標は順に，である．さらにとおくと，でのの接線は

であり，半径かつと軸のなす角がであることから，の傾きがだから，

①

この時，を通りで表して

②

である．

円$C$の下側の弧と曲線$C_1,C_2$に囲まれる領域

図 1: 円の下側の弧と曲線に囲まれる領域

求める面積をとする．対称性から

面積$S/2$の計算に用いる台形・曲線下の領域・扇形

図 2: 面積の計算に用いる台形・曲線下の領域・扇形

台形と軸，で囲まれた部分中心，半径，中心角の扇形③

であり，

台形，，扇形

を②とあわせて③から

．
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