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京都大学 前期 2012年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2012年 第5問 (解答解説)

📝 問題

次の命題(p),(q)のそれぞれについて，正しいかどうか答えよ． 正しければ証明し，正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ．

  1. (p)　正角形の頂点から3点を選んで内角の1つがである 三角形を作ることができるならば，は3の倍数である．

  2. (q)　とにおいて， かつならば，である．

✏️ 解答解説

【解答】

(p)

正六角形（左）および円周角$\angle A_1A_2A_m=\dfrac{\pi}{3}$と弦$A_1A_m$（右）

図 1: 正六角形（左）および円周角と弦（右）

正角形の頂点を左からとする． 正角形の内接する円の中心をとしてこの半径をとして良い．

（）がに等しい時，正角形は円に内接することと円周角の定理から，

となるので，の時を考えれば十分である．

に正弦定理を用いて

である．

一方で正角形の性質からだから

である．(式2),(式3)から

を得る．よりだから，

である．が自然数だからいずれの場合もはの倍数である（後者の場合はが奇数の時のみ許される）．よって(p)は正しい．

(q)

正六角形内の点$A$，$B$，$C$，$D$（(q)の反例）

図 2: 正六角形内の点，，，（(q)の反例）

上図のように正六角形の頂点上に，，，をとる． (p)と同様に円周角の定理から

であり，かつ

，

となる．したがって(式8),(式9)からこのような4点は(q)の反例となる．よって(q)は正しくない．

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