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京都大学 前期 2011年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2011年 第5問 (解答解説)

📝 問題

空間で，原点を中心とする半径の球面と 3点，，を通る平面が共有点を持つことを示し， 点がその共有点全体の集合を動くとき， 積が取り得る値の範囲を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

\tdplotsetmaincoords{65}{115}

球面$S$と平面$\alpha$の切断面および球欠

図 1: 球面と平面の切断面および球欠

平面の法線ベクトルはであるから， の方程式は

である． と球の中心の距離は，点と平面の距離公式から

球の半径

だから，とは共有点を持つ．

法線$\vec{n}$を含む断面における球面$S$と平面$\alpha$の切断面

図 2: 法線を含む断面における球面と平面の切断面

球のによる切断面は中心, 半径

の円である．この円上の点は，平面に平行な単位ベクトル

を用いて

とかけるから，

である．従ってこれらの座標の積は

である．これをとすると

であって，一階微分は

となるからの増減表は以下のようになる．

25272527

表 1: のにおける増減表

従っての値域は

である．

【別解】

共有点上の点は

，

をみたす．とおく．

だから，はの3次式

の3つの実数解である．

表 2: の増減表

のグラフを考えると，から，で極大値，で極小値をとるから，3実解をもつ条件は

となる．

$f(t)=t^3-4t^2+5t$の極大値と極小値

図 3: の極大値と極小値

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