京都大学 前期 2010年 第5問 (解答解説)

【解答】

(1)

とおく．がで割り切れ，で割り切れないことを帰納法で示す． のときだから成立する．そこでで成立すると仮定する． について

と因数分解できて，第一因数がで何回割れるかを考えると

となって2で割り切れ，4で割り切れない． 仮定よりはで割り切れ，で割り切れないから(式1)より はで割り切れ，で割り切れない．よって帰納法により題意は示された．

(2)

題意よりは偶数だから（は奇数，）とおく． すると二項定理から，

と書ける． の時，中括弧内は最後のの項以外はを含んで偶数で，全体では奇数である．

従って(式5)より，がで割り切れる回数はと同じで，(1)よりで割り切れ，で割り切れない．

よって題意のようにがで割り切れるには

であることが必要である．

ところが，の時，となることを帰納的に示す． まずではだから成立する．そこででの成立を仮定すると の時

となるからでも成立する．よって帰納法によりの時，である．

従って(式7)が成り立つにはであることが必要である． 以下個別に調べる．

以上よりがで割り切れるようなは

だけであり，題意は示された．