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京都大学 前期 2009年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2009年 第5問 (解答解説)

📝 問題

【乙】

平面上で原点を極，軸の正の部分を始線とする極座標に関して， 極方程式 により表される曲線をとする． と軸とで囲まれた図形を軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

【甲】

を素数，を正の整数とするとき，はで何回割り切れるか．

✏️ 解答解説

【解答】

上の点とすると，題意より

である．による一階微分は

である．従ってではかつである． また，端点ではで，でであり，増減表およびの概形は以下のようになる．

最大

表 1: 曲線 の増減表（）

曲線 $C: r=2+\cos\theta$（$0\leqq\theta\leqq\pi$）の概形と回転体の領域

図 1: 曲線 （）の概形と回転体の領域

従って求める体積は

である．

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