京都大学前期 2009年第3問 (解答解説)

【乙】

枚のカードを積んだ山があり，各カードには上から順番に1からまで番号がつけられている．ただしとする．このカードの山に対して次の試行を繰り返す． 1回の試行では，一番上のカードを取り，山の一番上にもどすか，あるいはいずれかのカードの下に入れるという操作を行う．これら通りの操作はすべて同じ確率であるとする．回の試行を終えたとき，最初一番下にあったカード(番号)が山の一番上にきている確率を求めよ．

【甲】

，は，をみたす正の数で，不等式

をみたすとする．このとき，の組の範囲を座標平面上に図示せよ．

【解答】

カードの移動操作と，$n$回目にカード$n$が山の一番上にくる2つの事象 — 図 1: カードの移動操作と，回目にカードが山の一番上にくる2つの事象

題意のように回目の試行の後に番号のカードが一番上にきているのは以下のいずれかである．

回目にのカードを引いて一番上に戻す．\
回目に1つ上におかれているカードを引いて，より下に戻す．

これらは排反な事象だから，それぞれの場合の確率を求めて足し合わせれば良い．以下個別に考える．

回目にのカードを引く時

から回目の試行で引いたカードをのカードより下の位置におけばよく，この確率は

である．さらに回目の試行で引いたのカードは1番上に戻るので，この確率はだから，全体での確率は

である．

回目にの1つ上におかれたカードを引く時

〜回目の試行のうち1回だけ，の上にカードをおく．これを回目の試行とすると，このような確率は

である．さらに回目に引いたカードはのカードの下におくので，確率はで，全体での確率は

である．これをについて足し合わせればの場合の確率は

である．

以上(式2),(式5)を足し合わせて，求める確率は

である．

この問題のOpen Issue（0件）

【乙】

【甲】

【解答】

回目にのカードを引く時

回目にの1つ上におかれたカードを引く時