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京都大学 前期 2010年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2010年 第6問 (解答解説)

📝 問題

【乙】

個のボールを個の箱へ投げ入れる． 各ボールはいずれかの箱に入るものとし，どの箱に入る確率も等しいとする． どの箱にも1個以下のボールしか入っていない確率をとする． このとき，極限値を求めよ．

【甲】

座標空間内で，，，，，，，，を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線を軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

$n$個の球を$2n$個の箱に高々1個ずつ配分する場合の数

図 1: 個の球を個の箱に高々1個ずつ配分する場合の数

個の球および個の箱をすべて区別して考える． 球が箱に入るすべての場合の数は，それぞれのボールが個のどの箱に入るかを考えてである． どの箱にも球が2個以上入らない場合の数は個の箱から球が入る個の箱を選べば良いから

通りである． したがってこのようになる確率は

であり，両辺自然対数をとって

である．よってこれをで割った値の極限は，区分求積法より

である．

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