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京都大学 前期 2010年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2010年 第1問 (解答解説)

📝 問題

【甲（第2問）・乙共通】

四面体においてと， と， とは それぞれ垂直であるとする． このとき，頂点，頂点および辺の中点の3点を通る平面は 辺と直交することを示せ．

【甲（第1問）】

1から5までの自然数を1列に並べる．どの並べかたも同様の確からしさで起こるものとする．このとき1番目と2番目と3番目の数の和と，3番目と4番目と5番目の数の和が等しくなる確率を求めよ．ただし，各並べかたにおいて，それぞれの数字は重複なく1度ずつ用いるものとする．

✏️ 解答解説

【解答】

四面体$ABCD$と辺$CD$の中点$M$，平面$ABM$

図 1: 四面体と辺の中点，平面

点Aを始点とする位置ベクトルを小文字で表す．仮定より

である．

平面と辺が直交することを示すには，と，とが垂直であることを示せば必要十分である．(式1)よりとは垂直だから，とが垂直，つまりであることを示せば良い．

辺の中点はと書けるから，

式

である．従ってであり，平面ABMは直線CDと垂直である．

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