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京都大学 前期 2010年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2010年 第4問 (解答解説)

📝 問題

【乙】

とする． 3辺の長さが，，である鋭角三角形の外接円の半径が1であるとする． このときを用いてを表せ．

【甲】

数列は，すべての正の整数に対してを満たしているとする．このとき，すべてのに対してであることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

三角形$ABC$の外接円（半径1）と中心角$\angle BOC=\dfrac{2\pi}{3}$

図 1: 三角形の外接円（半径1）と中心角

上図のように頂点を，，となるように定め，三角形の外心をOとする． 三角形が鋭角三角形なのでOは三角形の内部にある． に注意して三角形に余弦定理を用いると

となる．円周角の定理より

が従う．

次に三角形に余弦定理を用いると

を得る．の範囲では複号正の時常にとなり， 複号負の時にはの時にとなる．

そこで次に三角形が鋭角三角形になるかを確認する． 再び三角形に余弦定理を用いると

式

および同様に

式

である．が鋭角であるにはこれが正であれば良い． 以下複号に応じて場合分けする．

(式8)において複号正の場合

(式14)の分子はより明らかに正だからは鋭角である． (式19)の分子について

式の分子

で，これはより常に成立するから，も鋭角である． 以上より三角形は鋭角三角形である．

(式8)において複号負の場合

(式19)の分子はより明らかに正だからは鋭角である． (式14)の分子について

式の分子

だが，これはの時には成り立ち，の時には成立しない． しかしの時にはとなるからこのような三角形は存在しない． よって矛盾し，複号負とはならない．

以上より(式8)で複号正の時に三角形が鋭角三角形である． よって

と表せる．

三角形$ABC$の様子

図 2: 三角形の様子

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