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京都大学 前期 2011年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2011年 第4問 (解答解説)

📝 問題

は2以上の整数であり， であるとき，不等式

が成立することを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた数列について

とおいて，題意の不等式

を数学的帰納法によって示す．まず以下の補題を示す．

補題

に対してである．

証明

(式2)から だから，について足し合わせて

となり補題は示された．

□

以下帰納法で(式2)を示す．

まずの時，(式2)は

となる．変形して，

で，これはから成立する．

そこででの成立を仮定して，について考える． 仮定から

だから，両辺にをかけると

補題

から，でも(式2)は成立する．

以上から数学的帰納法により(式2)は示された．

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