【解答】
(1)
題意を背理法で示す．
が有理数だとする．この時互いに素な自然数を用いて
とかける．したがってがの因数を持ち，は素数だからはの倍数である．
この時とかけるから
となり同じくもの倍数となり，とが互いに素であることに矛盾する．
よって背理法によりは無理数である．
(2)
とおく．を有理数係数の整式，として
とおける．題意よりだから
となる．さらにをで割った商を，余りをとするといずれも係数は有理数で，
となる．は一次以下の有理数係数の整式でと書ける．
を代入すると(式4)より
となる．以下であることを示す．
の時
(式4)は
となり，またはとなる．
後者の場合が有理数となり(1)に矛盾するから
である．
の時
の時，まず(式5)でと同様にが従う．
従って(式5)より
となる．左辺を因数分解して
だから，これらが一致するには
となり，が有理数であることに反して矛盾する．
以上よりとなり，はで割り切れる．
【別解】
(2)
(式4)以下，よくあるテクニックを使う方法もある．
(式4)の両辺にをかけてを用いると
である．より
である．が無理数だから，
である．ならばが従うが，とすると
となってが無理数であることに反して矛盾する．
以上からとなり題意は示された．
