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京都大学 前期 2012年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2012年 第2問 (解答解説)

📝 問題

正四面体において，点，，をそれぞれ 辺，，上にとる． ただし，，は四面体の頂点とは異なるとする． が正三角形ならば， 3辺，，はそれぞれ3辺，，に平行であることを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

正四面体$OABC$と辺$OA,OB,OC$上の点$P,Q,R$

図 1: 正四面体と辺上の点

点に対してとおく．正四面体の一辺をとして良く，

とする．

題意の点は

，，

と書ける． が正三角形の時だから

を満たす．(式1)を代入してとして

と書ける．

(式4),(式5)から

である．(式4),(式5),(式6)はに関して対称だから (式9)で文字を入れ替えた

も成立する．

(式9)からまたはだから， 以下それぞれの場合を個別に考える．

(式10),(式11)からであり，この時などの相似より ，，が成り立つ．

(式6)に代入して，であるが，に反して矛盾する．

以上から題意は示された．

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