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京都大学 前期 2012年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2012年 第6問 (解答解説)

📝 問題

さいころを回投げて出た目を順にとする．さらに

によってを定める．

となる確率を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた数列

が

を満たす確率を考える．両端の値は

であることに注意する．まず(式1)から帰納的に

である．

まずの時は(式1),(式3)を(式2)に代入して

であれば良いから，このようになる確率は

である．

そこでの場合を考える．(式1)を(式2)に代入して

となる．(式4)から

式

が必要である．以下の値で場合分けしてのとりうる範囲について調べる．

の時

(式8)に代入して

である．

の時

(式8)に代入して

である．

以上(式11),(式13)から，(式8)が実現されるようなの条件は

の時の時の時，，の時，，の時，

である．(式4)からこれで全てののとりうる値は尽くされているから，それぞれの場合の確率は

の時の時

となってとの関係は

となる．(式6)のもとでこの漸化式を解いて，求める確率は

である．

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