京都大学前期 2011年第3問 (解答解説)

【解答】

$y=x$と$y=\left|\dfrac{3}{4}x^2-3\right|-2$で囲まれる領域（斜線部）と元の放物線（破線） — 図 1: とで囲まれる領域（斜線部）と元の放物線（破線）

与えられた曲線

について考える．これらのグラフは上図である．

絶対値を外した方程式の解を

の 解 の 解

とおく．

もとめる面積をとすると，これは以下のようにつの放物線と直線の囲む面積から計算できる．

\begin is only supported in math mode\begin{align} S &= \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.35] \fill[blue!15] (-2,-1.2) -- plot[domain=-2:3.33, samples=30] (\x,{0.45*\x*\x - 3.0}) -- (3.33,2.0) -- cycle; \fill[pattern=north east lines, pattern color=blue!70!black] (-2,-1.2) -- plot[domain=-2:3.33, samples=30] (\x,{0.45*\x*\x - 3.0}) -- (3.33,2.0) -- cycle; \draw[teal!85!black, thick] (-2.5,-1.5) -- (3.8,2.28); \draw[blue!85!black, thick] plot[domain=-2.5:3.6, samples=30] (\x,{0.45*\x*\x - 3.0}); \node[below left=-1pt, font=\tiny] at (-2,-1.2) {$\alpha$}; \node[above right=-1pt, font=\tiny] at (3.33,2.0) {$\beta$}; \node[font=\scriptsize] at (0,2) {$S_1$}; \end{tikzpicture}}\right) + 2 \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.35] \fill[teal!15] (-2,-1.2) -- plot[domain=-2:0.67, samples=30] (\x,{1.5 - 0.675*\x*\x}) -- (0.67,0.4) -- cycle; \fill[pattern=north east lines, pattern color=teal!70!black] (-2,-1.2) -- plot[domain=-2:0.67, samples=30] (\x,{1.5 - 0.675*\x*\x}) -- (0.67,0.4) -- cycle; \draw[teal!85!black, thick] (-2.4,-1.44) -- (1.5,0.9); \draw[blue!85!black, thick] plot[domain=-2.4:1.2, samples=30] (\x,{1.5 - 0.675*\x*\x}); \node[below left=-1pt, font=\tiny] at (-2,-1.2) {$\gamma$}; \node[above right=-1pt, font=\tiny] at (0.67,0.4) {$\delta$}; \node[font=\scriptsize] at (0,2) {$S_2$}; \end{tikzpicture}}\right) - 2 \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.35] \fill[blue!15] (-2,-1) -- plot[domain=-2:2, samples=30] (\x,{0.45*\x*\x - 2.8}) -- (2,-1) -- cycle; \fill[pattern=north east lines, pattern color=blue!70!black] (-2,-1) -- plot[domain=-2:2, samples=30] (\x,{0.45*\x*\x - 2.8}) -- (2,-1) -- cycle; \draw[teal!85!black, thick] (-2.5,-1) -- (2.5,-1); \draw[blue!85!black, thick] plot[domain=-2.3:2.3, samples=30] (\x,{0.45*\x*\x - 2.8}); \node[above, font=\tiny] at (-2,-1) {$-2$}; \node[above, font=\tiny] at (2,-1) {$2$}; \node[font=\scriptsize] at (0,2) {$S_3$}; \end{tikzpicture}}\right) \end{align}

各項を個別に計算すると

， ，

だから，これを(式2)に代入して

である．

ここで(式2)から

，

だから，(式7)に代入して求める面積は

となる．

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【解答】