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京都大学 前期 2007年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2007年 第4問 (解答解説)

📝 問題

【乙】

点を中心とする円に内接するの3辺，，をそれぞれに内分する点を，，とする． の外心が点と一致するとき，はどのような三角形か．

【甲】

において，の二等分線とこの三角形の外接円との交点でと異なる点をとする．同様に，の二等分線とこの外接円との交点をそれぞれ，とする．このとき3直線，，は1点で交わり，この点は三角形の垂心と一致することを証明せよ．

✏️ 解答解説
【自動文字起こし・要確認】

【解答】

を始点とする点の位置ベクトルをと表す．題意から

そして

の外心がのとき，となる． の外接円の半径を1とする．2乗して とおくと，(式1)から，で

したがって

ここで対称性からを原点とする座標平面で， ，とおく． であり，(式4)から

から，左側の等号からとかける．

したがって右側の等号から

(式6)から，． したがっては正三角形．

【別解】

(式4)以外に，(式2)から

などとして，から となる．この方が早い．

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