京都大学前期 2007年第3問 (解答解説)

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【解答】

与式から

，とおく．で，(式1),(式2)から，はの2解，はの2解である．だから

との式を辺々引いて，

ここで，は素数であり，(式3)からであることより，

同じことをとの式を用いて行えば，

から

(式3),(式7),(式9)及びだから，

である．

，となるから，となる． (式1),(式2),(式3)に代入して，

第1式からとなって矛盾．

，から，とする． (式1),(式2),(式3)に代入して，

したがってをであればよく，つまり

とすればよい．は3以上の素数であるから，このとき全ての条件がみたされる．

，から，となる． (式1)に代入して

からとなって矛盾．

以上から

(式4)のとの式において，与式からだから， (式7)のみに注目する方がよい．

普通に文字消去でもとける．というか，その方が早かった．