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京都大学 前期 1971年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1971年 第6問 (解答解説)

📝 問題

平面上に二つの動点，がある． は点から出発し，原点を中心とする半径1の円周上を正の向きに一定の速さ(円周率)で回転する． は点からと同時に出発し，軸に平行な直線上をの増加方向に一定の速さで進む． ただしとする．

  1. 出発時から測って，時刻ととの間で3点，，が一直線上にならぶ時刻が ただ1回あることを示せ．ただしとする．

  2. が増してゆくと，は一定値に近づくことを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

動点 $P_t$ と $Q_t$ の配置，および $O,P,Q$ が一直線上に並ぶ様子．

図 1: 動点 と の配置，および が一直線上に並ぶ様子．

時刻 の の座標は

である.

(1)

が一直線上に並ぶのは，と同値であるからこうなる条件を調べる．(式1)より

である．この左辺を とおく：

と，一階微分は

である. 三角関数の合成から

とおける. ただし は

を満たす なる角である．

従って の時,

となり, は区間内で符号をかえる点をただ一つ

に持つ．よっての偶奇に応じて増減表は以下のようになる．

正負

表 1: の時のの増減表

負正

表 2: の時のの増減表

区間 $[n,n+1]$ における $f(t)$ の概形と，唯一の零点 $t_n$．

図 2: 区間 における の概形と，唯一の零点 ．

従って, の間に をみたす が唯一ある.

(2)

題意よりであり，が成り立つ． (式3)にを代入して

である．従ってこれを満たすを考えて

であり，は一定値に近づく．

【別解】

(1)

$y=a\tan\pi t$ と $y=vt$ のグラフの交点 $t_n$．

図 3: と のグラフの交点 ．

(式2)よりだから両辺をで割って

である．これは確かにでただ一つの解を持つ．

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